matematikaoye

MATEMATIKAOYE.WordPress.com site

Geometri Non Euclid 31 Januari 2012

1. Geometri terurut
KONSEP URUTAN
6 (aksioma Pasch)
Andaikan g sebuah garis yang sebidang dengan titik A, B, C tetapi g tidak melalui A, B atau C. Apabila g mamotong maka g memotong atau tetapi tidak dua-duanya.
Perhatikan juga bahwa U6 juga berlaku apabila A, B, C berlainan dan segaris atau apabila C = A atau C = B.
2. Geometri Netral
adalah Geometri yang dilengkapi dengan sistem aksioma-aksioma insidensi, sistem aksioma-aksioma urutan, sistem aksioma kekongruenan (ruas garis, sudut, segitiga) dan sistem aksioma-aksioma archiemedes.
3. Geometri Insidensi
Teorema 1 :
Jika dua garis berbeda berpotongan maka perpotongannya pada tepat satu titik.
Bukti:
Misalkan garis itu l dan m.
Jika l dan m berpotongan menurut definisi mereka berpotongan pada minimal satu titik, sebut P.
Andaikan l dan m juga berpotongan di Q, maka melalui P dan Q terdapat garis PQ, sehingga melalui P dan Q ada lebih dari garis.
Kontradiksi dengan aksioma 1 insidensi.
Terbukti l dan m berpotongan pada tepat satu titik.
4. Geometri topologi
Dimensi topologi rendah sangat geometris, sebagaimana tercermin dalam teorema uniformization dalam dimensi-2 yang mengatakan bahwa
setiap permukaan mengakui sebuah kelengkungan konstan metrik, geometris, ia memiliki salah satu dari 3 kemungkinan geometri: kelengkungan positif / bulat, nol kelengkungan / datar, kelengkungan negatif / hiperbolik
5. Geometri Eliptik
Georg Friedrich Bernhard Riemann
(17 September 1826 – 20 Juli 1866)
Pada tahun 1954 Riemann membacakan disertasinya tentang penemuannya yang baru di Fakultas Filsafat Gottingen. Ia memulai dengan asumsi : Garis-garis adalah tidak terbatas, tetapi panjangnya berhingga. Riemann tidak mengindahkan postulat kesejajaran dari geometri eucklides maupun dari geometri hiperbolik. Postulat kesejajaran dari Riemann adalah: Tidak ada garis-garis yang sejajar dengan garis lain. Jadi menurutnya, dua garis selalu berpotongan dan tidak ada dua garis sejajar. Untuk selanjutnya geometri elliptik dikenal sebagai Geometri Riemann.
6.Geometri Hiperbolik
A. Sejarah Geometri Hiperbolik
Geometri hiperbolik, pertama dikembangkan oleh keluarga Bolyai. Seorang matematikawan Austria “Farkas Wolfgang Bolyai” (1775-1856) lah yang mula-mula menaruh minat utamanya pada dasar-dasar geometri dari postulat kelima Euclid, postulat kesejajaran. Selesai kuliah di Gottingen tahun 1799, pulang ke Hongaria dan mengajar matematika, fisika dan kimia pada Reformed College. Wolfgang mengajari pula anaknya sendiri Janos Bolyai. Putus asa dengan Postulat kesejajaran yang diketahuinya mempunyai kejanggalan namun tidak dapat dibuktikannya membuat dia menulis surat kepada anaknya :
Jangan berkutat dengan postulat kesejajaran, karena akan mengurangi kenyamanan,kesehatan, dan ketenangan dan seluruh kebahagiaan dalam hidup ini.
Sang anak Janos Bolyai, pada usia 21 tahun melanggar larangan ayahnya. Ia melanjutkan kepenasaran sang ayah yang menemukan kejanggalan postulat tersebut. Janos berhasil mengembangkan geometri yang beda dengan postulat kelima Euclid dan mencetuskan geometri Non-Euclid dengan cara yang berbeda dengan Nicolai Lobachevsky, yang kemudian dikenal dengan geometri hiperbolik. Demikianlah balasan surat Janos Bolyai kepada ayahnya Wolfgang Bolyai
7. Geometri fraktal
Fraktal juga bisa dikelompokkan berdasarkan keserupa diriannya. Ada tiga tingkat keperupadirian pada fraktal:
• Serupa diri secara persis — Ini adalah keserupa dirian yang paling kuat. Fraktalnya terlihat sama persis pada berbagai skala. Fraktal yang didefinisikan oleh sistem fungsi teriterasi biasanya bersifat serupa diri secara persis.
• Serupa diri secara lemah — Ini adalah keserupa dirian yang tidak terlalu ketat. Fraktalnya terlihat mirip (tapi tidak persis sama) pada skala yang berbeda. Fraktal jenis ini memuat salinan dirinya sendiri dalam bentuk yang terdistorsi maupun rusak.
• Serupa diri secara statistik — Ini adalah kererupadirian yang paling lemah. Fraktalnya memiliki ukuran numeris atau statistik yang terjaga pada skala yang berbeda. Kebanyakan definisi fraktal yang wajar secara trivial mengharuskan suatu bentuk keserupa dirian statistik. Dimensi fraktal sendiri adalah ukuran numeris yang nilainya terjaga pada berbagai skala. Fraktal acak adalah contoh fraktal yang serupa diri secara statistik, tapi tidak serupa diri secara persis maupun lemah.

LATIHAN

  1. Jelaskan pengertian dari geometri non Euclid?
  2. Jelaskan perbedaan antara geometri Euclid dengan geometri non Euclid?
  3. Apakah yang dimaksud dengan geometri netral?
  4. Jelaskan perbedaan antara geometri topologi dengan geometri eliptik?
  5. Jelaskan sejarah geometri hiperbolik?

 

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s