matematikaoye

MATEMATIKAOYE.WordPress.com site

Sejarah Teori Bilangan 19 Maret 2012

1. Sejarah purbakala dari Matematika

Pada mulanya di zaman purbakala banyak bangsa-bangsa yang bermukim sepanjang sungai-sungai besar. Bangsa Mesir sepanjang sungai Nil di Afrika, bangsa Babilonia sepanjang sungai Tigris dan Eufrat, bangsa Hindu sepanjang sungai Indus dan Gangga, bangsa Cina sepanjang sungai Huang Ho dan Yang Tze. Bangsa-bangsa itu memerlukan keterampilan untuk mengendalikan banjir, mengeringkan rawa-rawa, membuat irigasi untuk mengolah tanah sepanjang sungai menjadi daerah pertanian untuk itu diperlukan pengetahuan praktis, yaitu pengetahuan teknik dan matematika bersama-sama.
Sejarah menunjukkan bahwa permulaan Matematika berasal dari bangsa yang bermukim sepanjang aliran sungai tersebut. Mereka memerlukan perhitungan, penanggalan yang bisa dipakai sesuai dengan perubahan musim. Diperlukan alat-alat pengukur untuk mengukur persil-persil tanah yang dimiliki. Peningkatan peradaban memerlukan cara menilai kegiatan perdagangan, keuangan dan pemungutan pajak. Untuk keperluan praktis itu diperlukan bilangan-bilangan.

2. Awal Bilangan

Bilangan pada awalnya hanya dipergunakan untuk mengingat jumlah, namun dalam perkembangannya setelah para pakar matematika menambahkan perbendaharaan simbol dan kata-kata yang tepat untuk mendefenisikan bilangan maka matematika menjadi hal yang sangat penting bagi kehidupan dan tak bisa kita pungkiri bahwa dalam kehidupan keseharian kita akan selalu bertemu dengan yang namanya bilangan, karena bilangan selalu dibutuhkan baik dalam teknologi, sains, ekonomi ataupun dalam dunia musik, filosofi dan hiburan serta banyak aspek kehidupan lainnya.
Bilangan dahulunya digunakan sebagai symbol untuk menggantikan suatu benda misalnya kerikil, ranting yang masing-masing suku atau bangsa memiliki cara tersendiri untuk menggambarkan bilangan dalam bentuk symbol.

3. Perkembangan Teori Bilangan

a. Teori Bilangan Pada suku Babilonia

Matematika Babilonia merujuk pada seluruh matematika yang dikembangkan oleh bangsa Mesopotamia (kini Iraq) sejak permulaan Sumeria hingga permulaan peradaban helenistik. Dinamai “Matematika Babilonia” karena peran utama kawasan Babilonia sebagai tempat untuk belajar. Pada zaman peradaban helenistik, Matematika Babilonia berpadu dengan Matematika Yunani dan Mesir untuk membangkitkan Matematika Yunani. Kemudian di bawah Kekhalifahan Islam, Mesopotamia, terkhusus Baghdad, sekali lagi menjadi pusat penting pengkajian Matematika Islam.
Bertentangan dengan langkanya sumber pada Matematika Mesir, pengetahuan Matematika Babilonia diturunkan dari lebih daripada 400 lempengan tanah liat yang digali sejak 1850-an. Lempengan ditulis dalam tulisan paku ketika tanah liat masih basah, dan dibakar di dalam tungku atau dijemur di bawah terik matahari. Beberapa di antaranya adalah karya rumahan.
Bukti terdini matematika tertulis adalah karya bangsa Sumeria, yang membangun peradaban kuno di Mesopotamia. Mereka mengembangkan sistem rumit metrologi sejak tahun 3000 SM. Dari kira-kira 2500 SM ke muka, bangsa Sumeria menuliskan tabel perkalian pada lempengan tanah liat dan berurusan dengan latihan-latihan geometri dan soal-soal pembagian. Jejak terdini sistem bilangan Babilonia juga merujuk pada periode ini.
Sebagian besar lempengan tanah liat yang sudah diketahui berasal dari tahun 1800 sampai 1600 SM, dan meliputi topik-topik pecahan, aljabar, persamaan kuadrat dan kubik, dan perhitungan bilangan regular, invers perkalian, dan bilangan prima kembar. Lempengan itu juga meliputi tabel perkalian dan metode penyelesaian persamaan linear dan persamaan kuadrat. Lempengan Babilonia 7289 SM memberikan hampiran bagi √2 yang akurat sampai lima tempat desimal.
Matematika Babilonia ditulis menggunakan sistem bilangan seksagesimal (basis-60). Dari sinilah diturunkannya penggunaan bilangan 60 detik untuk semenit, 60 menit untuk satu jam, dan 360 (60 x 6) derajat untuk satu putaran lingkaran, juga penggunaan detik dan menit pada busur lingkaran yang melambangkan pecahan derajat. Juga, tidak seperti orang Mesir, Yunani, dan Romawi, orang Babilonia memiliki sistem nilai-tempat yang sejati, di mana angka-angka yang dituliskan di lajur lebih kiri menyatakan nilai yang lebih besar, seperti di dalam sistem decimal.

b. Teori Bilangan Pada Suku Bangsa Mesir Kuno

Matematika Mesir merujuk pada matematika yang ditulis di dalam bahasa Mesir. Sejak peradaban helenistik matematika Mesir melebur dengan matematika Yunani dan Babilonia yang membangkitkan Matematika helenistik. Pengkajian matematika di Mesir berlanjut di bawah Khilafah Islam sebagai bagian dari matematika Islam, ketika bahasa Arab menjadi bahasa tertulis bagi kaum terpelajar Mesir.

Tulisan matematika Mesir yang paling panjang adalah Lembaran Rhind (kadang-kadang disebut juga “Lembaran Ahmes” berdasarkan penulisnya), diperkirakan berasal dari tahun 1650 SM tetapi mungkin lembaran itu adalah salinan dari dokumen yang lebih tua dari Kerajaan Tengah yaitu dari tahun 2000-1800 SM. Lembaran itu adalah manual instruksi bagi pelajar aritmetika dan geometri. Selain memberikan rumus-rumus luas dan cara-cara perkalian, pembagian, dan pengerjaan pecahan, lembaran itu juga menjadi bukti bagi pengetahuan matematika lainnya, termasuk bilangan komposit dan prima; rata-rata aritmetika, geometri, dan harmonik; dan pemahaman sederhana Saringan Eratosthenes dan teori bilangan sempurna (yaitu, bilangan 6). Lembaran itu juga berisi cara menyelesaikan persamaan linear orde satu juga barisan aritmetika dan geometri.
Naskah matematika Mesir penting lainnya adalah lembaran Moskwa, juga dari zaman Kerajaan Pertengahan, bertarikh kira-kira 1890 SM. Naskah ini berisikan soal kata atau soal cerita, yang barangkali ditujukan sebagai hiburan.

c. Teori Bilangan Pada Suku Bangsa India

Sulba Sutras (kira-kira 800–500 SM) merupakan tulisan-tulisan geometri yang menggunakan bilangan irasional, bilangan prima, aturan tiga dan akar kubik; menghitung akar kuadrat dari 2 sampai sebagian dari seratus ribuan; memberikan metode konstruksi lingkaran yang luasnya menghampiri persegi yang diberikan, menyelesaikan persamaan linear dan kuadrat; mengembangkan tripel Pythagoras secara aljabar, dan memberikan pernyataan dan bukti numerik untuk teorema Pythagoras.
Kira-kira abad ke-5 SM merumuskan aturan-aturan tata bahasa Sanskerta menggunakan notasi yang sama dengan notasi matematika modern, dan menggunakan aturan-aturan meta, transformasi, dan rekursi. Pingala (kira-kira abad ke-3 sampai abad pertama SM) di dalam risalah prosodynya menggunakan alat yang bersesuaian dengan sistem bilangan biner. Pembahasannya tentang kombinatorika bersesuaian dengan versi dasar dari teorema binomial. Karya Pingala juga berisi gagasan dasar tentang bilangan Fibonacci.
Pada sekitar abad ke 6 SM, kelompok Pythagoras mengembangkan sifat-sifat bilangan lengkap (perfect number), bilangan bersekawan (amicable number), bilangan prima (prime number), bilangan segitiga (triangular number), bilangan bujur sangkar (square number), bilangan segilima (pentagonal number) serta bilangan-bilangan segibanyak (figurate numbers) yang lain.

Salah satu sifat bilangan segitiga yang terkenal sampai sekarang disebut triple Pythagoras, yaitu : a.a + b.b = c.c yang ditemukannya melalui perhitungan luas daerah bujur sangkar yang sisi-sisinya merupakan sisi-sisi dari segitiga siku-siku dengan sisi miring (hypotenosa) adalah c, dan sisi yang lain adalah a dan b. Hasil kajian yang lain yang sangat popular sampai sekarang adalah pembedaan bilangan prima dan bilangan komposit. Bilangan prima adalah bilangan bulat positif lebih dari satu yang tidak memiliki Faktor positif kecuali 1 dan bilangan itu sendiri. Bilangan positif selain satu dan selain bilangan prima disebut bilangan komposit. Catatan sejarah menunjukkan bahwa masalah tentang bilangan prima telah menarik perhatian matematikawan selama ribuan tahun, terutama yang berkaitan dengan berapa banyaknya bilangan prima dan bagaimana rumus yang dapat digunakan untuk mencari dan membuat daftar bilangan prima.
Dengan berkembangnya sistem numerasi, berkembang pula cara atau prosedur aritmetis untuk landasan kerja, terutama untuk menjawab permasalahan umum, melalui langkah-langkah tertentu, yang jelas yang disebut dengan algoritma. Awal dari algoritma dikerjakan oleh Euclid. Pada sekitar abad 4 S.M, Euclid mengembangkan konsep-konsep dasar geometri dan teori bilangan. Buku Euclid yang ke VII memuat suatu algoritma untuk mencari Faktor Persekutuan Terbesar dari dua bilangan bulat positif dengan menggunakan suatu teknik atau prosedur yang efisien, melalui sejumlah langkah yang terhingga. Kata algoritma berasal dari algorism. Pada zaman Euclid, istilah ini belum dikenal. Kata Algorism bersumber dari nama seorang muslim dan penulis buku terkenal pada tahun 825 M., yaitu Abu Ja’far Muhammed ibn Musa Al-Khowarizmi. Bagian akhir dari namanya (Al-Khowarizmi), mengilhami lahirnya istilah Algorism. Istilah algoritma masuk kosakata kebanyakan orang pada saat awal revolusi komputer, yaitu akhir tahun 1950.
Pada abad ke 3 S.M., perkembangan teori bilangan ditandai oleh hasil kerja Erathosthenes, yang sekarang terkenal dengan nama Saringan Erastosthenes (The Sieve of Erastosthenes). Dalam enam abad berikutnya, Diopanthus menerbitkan buku yang bernama Arithmetika, yang membahas penyelesaian persamaan didalam bilangan bulat dan bilangan rasional, dalam bentuk lambang (bukan bentuk/bangun geometris seperti yang dikembangkan oleh Euclid). Dengan kerja bentuk lambang ini, Diopanthus disebut sebagai salah satu pendiri aljabar.

d. Teori Bilangan Pada Masa Sejarah (Masehi)

Awal kebangkitan teori bilangan modern dipelopori oleh Pierre de Fermat (1601-1665), Leonhard Euler (1707-1783), J.L Lagrange (1736-1813), A.M. Legendre (1752-1833), Dirichlet (1805-1859), Dedekind (1831-1916),

Riemann (1826-1866), Giussepe Peano (1858-1932), Poisson (1866-1962), dan Hadamard (1865-1963). Sebagai seorang pangeran matematika, Gauss begitu terpesona terhadap keindahan dan kecantikan teori bilangan, dan untuk melukiskannya, ia menyebut teori bilangan sebagai the queen of mathematics.
Pada masa ini, teori bilangan tidak hanya berkembang sebatas konsep, tapi juga banyak diaplikasikan dalam berbagai bidang ilmu pengetahuan dan teknologi. Hal ini dapat dilihat pada pemanfaatan konsep bilangan dalam metode kode baris, kriptografi, komputer, dan lain sebagainya

4. Tokoh-Tokoh Teori Bilangan
a. Pythagoras (582-496 SM)

Pythagoras adalah seorang matematikawan dan filsuf Yunani yang paling dikenal melalui teoremanya. Dikenal sebagai “Bapak Bilangan”, dia memberikan sumbangan yang penting terhadap filsafat dan ajaran keagamaan pada akhir abad ke-6 SM.
Salah satu peninggalan Pythagoras yang terkenal adalah teorema Pythagoras, yang menyatakan bahwa kuadrat hipotenusa dari suatu segitiga siku-siku adalah sama dengan jumlah kuadrat dari kaki-kakinya (sisi-sisi siku-sikunya). Walaupun fakta di dalam teorema ini telah banyak diketahui sebelum lahirnya Pythagoras, namun teorema ini dikreditkan kepada Pythagoras karena ia yang pertama kali membuktikan pengamatan ini secara matematis.

b.  Al-Kashi (1380 M)

Al-Kashi terlahir pada 1380 di Kashan, sebuah padang pasir di sebelah utara wilayah Iran Tengah. Selama hidupnya, al-Kashi telah menyumbangkan dan mewariskan sederet penemuan penting bagi astronomi dan matematika.
Pecahan desimal yang digunakan oleh orang-orang Cina pada zaman kuno selama berabad-abad, sebenarnya merupakan pecahan desimal yang diciptakan oleh al-Kashi. Pecahan desimal ini merupakan salah satu karya besarnya yang memudahkan untuk menghitung aritmatika yang dia bahas dalam karyanya yang berjudul Kunci Aritmatika yang diterbitkan pada awal abad ke-15 di Samarkand.

c. Abu Ali Hasan Ibnu Al-Haytam (965 M)

Abu Ali Hasan Ibnu Al-Haytam lahir Basrah Irak, yang oleh masyarakat Barat dikenal dengan nama Alhazen. Al-Haytam adalah orang pertama yang mengklasifikasikan semua bilangan sempurna yang genap, yaitu bilangan yang merupakan jumlah dari pembagi-pembagi sejatinya, seperti yang berbentuk 2k-1(2k-1) di mana 2k-1 adalah bilangan prima. Selanjutnya Al-Haytam membuktikan bahwa bila p adalah bilangan prima, 1+(p-1)! habis dibagi oleh p.

d. Pierre de Fermat

Fermat menuliskan bahwa “I have discovered a truly remarkable proof which this margin is to small to contain”. Fermat juga hampir selalu menulis catatan kecil sejak tahun 1603, manakala ia pertama kali mempelajari Arithmetica karya Diophantus. Ada kemungkinan Fermat menyadari bahwa apa yang ia sebut sebagai remarkable proof ternyata salah, karena semua teorema yang dia nyatakan biasanya dalam bentuk tantangan yang Fermat ajukan terhadap matematikawan lain. Meskipun kasus khusus untuk n = 3 dan n = 4 ia ajukan sebagai tantangan (dan Fermat mengetahui bukti untuk kasus ini) namun teorema umumnya tidak pernah ia sebut lagi. Pada kenyataannya karya matematika yang ditinggalkan oleh Fermat hanya satu buah pembuktian. Fermat membuktikan bahwa luas daerah segitiga siku- siku dengan sisi bilangan bulat tidak pernah merupakan bilangan kuadrat. Jelas hal ini mengatakan bahwa tidak ada segitiga siku-siku dengan sisi rasional yang mempunyai luas yang sama dengan suatu bujursangkar dengan sisi rasional. Dalam simbol, tidak terdapat bilangan bulat x, y, z dengan sehingga bilangan kuadrat. Dari sini mudah untuk mendeduksi kasus n = 4, Teorema Fermat. Penting untuk diamati bahwa dalam tahap ini yang tersisa dari pembuktian Fermat Last Theorem adalah membuktikan untuk kasus n bilangan prima ganjil. Jika terdapat bilangan bulat x, y, z dengan maka jika n = pq, .

5. Kapankah angka nol ditemukan?

Zero = 0 = Empty = Kosong (Nol) Memang, kata dalam Bahasa Inggris ‘zero’ (nol) berasal dari bahasa Arab ‘sifr’, suatu terjemahan literal dari bahasa Sanskrit “shûnya” yang bermakna “kosong”. Runtutan keterkaitan bahasa dari masa ke masa: shûnya (Sanskrit) -> (Ancient Egypt/Babylonia) -> (Greek/Helenic) -> (Rome/Byzantium) – sifr (Arab) -> zero (English) -> nol; kosong (Indonesia) Wikipedia The word “zero” comes ultimately from the Arabic “sifr”, or “empty,” a literal translation of the Sanskrit “shûnya”.

With its new use for the concept of zero, zephyr came to mean a light breeze – “an almost nothing” (Ifrah 2000; see References).

The word zephyr survives with this meaning in English today. The Italian mathematician Fibonacci (c.1170-1250), who grew up in Arab North Africa and is credited with introducing the Arabic decimal system to Europe. Around the same time, the Arab mathematician al-Khwarizmi described the “Hindu number” system with positional notation and a zero symbol in his book Kitab al-jabr wa’l muqabalah. Nol asalnya dari India “shûnya” bukan cuma sebuah istilah, tapi juga konsep.
Sekitar tahun 300 SM orang babilonia telah memulai penggunaan dua buah baji miring, //, untuk menunjukkan sebuah tempat kosong, sebuah kolom kosong pada Abakus. Simbol ini memudahkan seseorang untuk menentukan letak sebuah symbol. Angka nol sangat berguna dan merupakan simbol yang menggambarkan sebuah tempat kosong dalam Abakus, sebuah kolom dengan batu-batu yang ditempatkan di dasar. Kegunaannya hanya untuk memastikan bahwa butiran-butiran tersebut berada di tempat yang tepat, angka nol tidak memiliki nilai numeric tersendiri.
Pada komputer nol ini dapat merusak sistem, karena nol diartikan tidak ada. Berapapun bilangan dikalikan dengan nol hasilnya tidak ada. Nah inilah yang membuat bingung dalam operasi perhitungan.
Perhatikan contoh ini :
0=0 ( nol sama dengan nol, benar)
0 x3=0 x 89 (nol sama-sama dikalikan dengan sebuah bilangan, karena juga akan bernilai nol)
(0 x 3)/0= (0 x 89)/0 (sebuah bilangan dibagi dengan bilangan yang sama, akan bernilai satu)
3=89 (???, hasil ini yang membuat bingung)
Walaupun demikian sebenarnya nol itu hebat, jika tidak ditemukan angka nol tulisan satu juta dalam bilangan romawi ditulis apa?? Bisa-bisa selembar kertas tidak sampai untuk hanya memberikan symbol satu juta itu. Bisa dibayangkan jika nol tidak ada. Banyak kekuatan yang terkandung dalam angka ini. Nol adalah perangkat paling penting dalam matematika. Namun berkat sifat matematis dan filosofis yang aneh pada angka nol, ia akan berbenturan dengan filsafat barat.
Angka nol berbenturan dengan salah satu prinsip utama filsafat barat, sebuah dictum yang akar-akarnya terhujam dalam filsafat angka Phythagoras dan nilai pentingnya tumbuh dari paradoks Zeno. seluruh cosmos Yunani didirikan di atas pilar: tak ada kekosongan.
Kosmos Yunani yang dis=ciptakan oleh Phytagoras, Aristoteles dan Ptolemeus masih lama bertahan setelah keruntuhan peradaban Yunani. Dalam kosmos ini tak ada ketiadaaan. Oleh karena itu, hampir sepanjang dua milinium orang-orang barat tak bersedia menerima angka nol. Konsekuensinya sungguh menakutkan. Ketiadaan angka nol menghambat perkembangan matematika, menghalangi inovasi sains dan yang lebih berbahaya, mengacaukan sistem penanggalan.

6. Macam-macam bilangan
Bilangan Bulat adalah bilangan yang terdiri atas bilangan positif, bilangan nol, dan bilangan negatif.
Misal : ….-2,-1,0,1,2….

Bilangan asli adalah bilangan bulat positif yang diawali dari angka 1(satu) sampai tak terhingga.
Misal : 1,2,3….
Bilangan cacah adalah bilangan bulat positif yang diawali dari angka 0 (nol) sampai tak terhingga.
Misal : 0,1,2,3,….
Bilangan prima adalah bilangan yang tepat mempunyai dua faktor yaitu bilangan 1 (satu) dan bilangan itu sendiri.
Misal : 2,3,5,7,11,13,…..
(1 bukan bilangan prima, karena mempunyai satu faktor saja).
Bilangan komposit adalah bilangan yang bukan 0, bukan 1 dan bukan bilangan prima.
Misal ; 4,6,8,9,10,12,….
Bilangan rasional adalah bilangan yang dinyatakan sebagai suatu pembagian antara dua bilangan bulat (berbentuk bilangan a/b, dimana a dan b merupakan bilangan bulat).
Misal: 1/2 ,2/(3 ),3/4….
Bilangan irrasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai pembagian dua bilangan bulat.
Misal: π, √3 , log 7 dan sebagainya.
Bilangan riil adalah bilangan yang merupakan penggabungan dari bilangan rasional dan bilangan irrasional
Misal: 1/2 √(2 ),1/3 √5,1/4 π,2/3 log⁡2 dan sebagainya.
Bilangan imajiner (bilangan khayal) adalah bilangan yang ditandai dengan i, bilangan imajiner i dinyatakan sebagai √(-1). Jadi, jika i = √(-1) maka i2= -1
Misal: √(-4)=⋯?

√(-4)=√(4×(-1) )
= √4×√(-1)
= 2 × i
= 2i

Jadi, √(-4)=2i.
Bilangan kompleks adalah bilangan yang merupakan penggabungan dari bilangan riil dan bilangan imajiner.
Misal; π√(-1)= πi
Log √(-1)=log⁡

Sejarah Perkembangan Bilangan

  1. Zaman Pra Yunani Kuno

Zaman Pra Yunani kuno disebut juga Zaman batu, karena pada masa ini manusia masih menggunakan batu sebagai peralatan dan sisa peradapan manusia yang ditemukan pada masa ini antara lain :alat-alat dari batu tulang berulang hewan sisa beberapa tanaman gambar di gua-gua tempat penguburan tulang belulang manusia purba. Antara abad ke -15 sampai 6 SM, manusia telah menemukan besi, tembaga, dan perak untuk berbagai peralatan. Abad kelima belas Sebelum Masehi peralatan besi dipergunakan pertama kali di Irak, tidak di Eropa Tiongkok. Pada abad ke-6 SM di Yunani muncullah Filsafat. Pada zaman pra Yunani Kuno di dunia ilmu pengetahuan dicirikan berdasarkan  know how yang dilandasi pengalaman empiris.

Disamping itu, kemampuan berhitung ditempuh dengan cara korespodensi satu – satu  atau proses pemetaan. Contoh cara menghitung hewan yang akan masuk dan keluar kandang dengan kerikil. Namun pada masa ini manusia sudah mulai memperhatikan keadaan alam semesta sebagai suatu proses alam. Dengan demikian lama kelamaan mereka juga memperhatikan  dan menemukan hal-hal seperti berikut :

1.   Gugus bintang dilangit sebagai suatu kesatuan. Gugusan ini kemudian diberi nama misalnya : Ursa Minor, Ursa Manyor, Pisces, Scorpio, dan lain-lain, yang sekarang dikenal dengan nama zodiac

2.  Kedudukan matahari dan bulan pada waktu terbit dan tenggelam, bergerak dalam rangka zodiak tersebut.

3.    Lambat laun dikenal pula bintang-bintang yang bergerak diantara gugusan yang sudah dikenal tadi, sehingga ditemukan planet Mercurius, Venus, Mars, Yupiter, dan Saturnus, disamping matahari dan bulan

4.    Akhirnya dapat pula dihitung waktu Bulan kembali pada bentuknya yang sama antara 28 sampai dengan 29 hari.

5.   Waktu timbul dan tenggelamnya matahari di cakrawala yang berpindah-pindah dan memerlukan kurang lebih 365 hari sebelum kembali kedudukan semula.

6.    Ketika mata hari timbul tenggelam sebanyak 365 kali, Bulan juga mengalami perubahan sebanyak 12 kali. Berdasarkan hal itu kelak ditemukan perhitungan kalender.

7.     Ditemukan pula beberapa gejala alam seperti gerhana, yang pada masa itu masih dihubungkan dengan mitologi-mitologi tertentu, sehingga menakutkan banyak orang.

Jadi dapat disimpulkan bahwa pada zaman ini ditandai oleh kemampuan :

a. Know how dalam kehidupan sehari-hari yang didasarkan pada pengalaman.

b. Pengetahuan yang berdasarkan pengalaman itu diterima sebagai Fakta dengan sikap receptive mind, keterangan masih dihubungkan dengan kekutan magis.

c. Kemampuan menemukan abjad dan sistem bilangan alam sudah menampakkan perkembangan pemikiran manusia ketingkat abstraksi.

d.  Kemampuan menulis, berhitung, menyusun kalender yang didasarkan atas sintesis terhadap hasil abstraksi yang dilakukan.

e. Kemampuan meramalkan suatu peristiwa atas dasar peristiwa-peristiwa sebelumnya yang pernah terjadi

B.     Zaman Yunani Kuno

Tokoh filsafat pada zaman Yunani Kuno adalah Socrates (469 -399 SM), Plato (427-347 SM), dan Aristoteles (384-322 SM) Pidarta (2007). Zaman ini di pandang sebagai zaman keemasan filsafat, karena pada masa ini orang memiliki kebebasan untuk mengungkapkan ide-ide atau pendapatnya. Di zaman ini banyak sekali pendapat-pendapat para ilmuan seperti pendapat orang Yunani Kuno dan  Mesir Kuno tentang bilangan, penemuan angka nol maupun nilai tempat.

  1. 1.      Bilangan.

Konsep bilangan pada awalnya hanyalah untuk kepentingan mereka menghitung dan mengingat jumlah. Lambat laun, setelah para ahli matematika menambah perbendaharaan simbol dan kata-kata yang tepat untuk mendefinisikan bilangan, bahasa matematika ini menjadi sesuatu yang penting dalam setiap perubahan kehidupan.

Tak heran lagi, bilangan senantiasa hadir dan dibutuhkan dalam sains, teknologi, dan ekonomi bahkan dalam dunia musik, dll. Dahulu, ketika orang primitif hidup di gua-gua dengan mengandalkan makanannya dari tanaman dan pepohonan di sekitar gua atau berburu untuk sekali makan, kehadiran bilangan, hitung menghitung, atau matematika tidaklah terlalu dibutuhkan.

Tetapi, tatkala mereka mulai hidup untuk persediaan makanan, mereka harus menghitung berapa banyak ternak miliknya dan milik tetangganya atau berapa banyak  persediaan makanan saat ini, mulailah mereka membutuhkan dan menggunakan hitung menghitung. Pada awalnya cukuplah menggunakan konsep lebih sedikit dan lebih banyak untuk melakukan perhitungan. Misalnya, untuk membandingkan dua kelompok kupu-kupu yang berbeda banyaknya. Mereka hanya bisa membandingkan banyak sedikitnya kedua kelompok kupu-kupu itu. Akan tetapi, kepastian jumlah tentang milik seseorang atau milik orang lain mulai dibutuhkan, sehingga mulai mengenal dan belajar perhitungan sederhana.

Mula-mula, manusia menggunakan kerikil, menggunakan simpul pada tali, menggunakan jari jemarinya, atau memakai ranting untuk menyatakan banyak hewan dan kawanannya atau anggota keluarga yang tinggal bersamanya. Inilah dasar pemahaman tentang konsep bilangan. Ketika seseorang berfikir tentang bilangan dua, maka dalam benaknya telah tertanam pengertian terdapat benda sebanyak dua buah. Misalnya ada dua katak dan dua kepiting, dan selanjutnya kata ”dua” dilambangkan dengan ”2”. Karena menyatakan bilangan dengan menggunakan kerikil, ranting, atau jari dirasakan tidak cukup praktis, maka orang mulai berpikir untuk menggambarkan bilangan itu dalam suatu lambang. Lambang (simbol) untuk menulis sebuah bilangan disebut angka. Misalnya , orang Babilonia mengembangkan tulisan kuno berbentuk baji, yang menggambarkan lambang-lambang berbeda, menyerupai tongkat yang ujungnya tajam pada tanah liat basah yang dibentuk menjadi batu bata merah. Lambang bilangan yang dibentuk dari baji tersebut .

Simbol bilangan bangsa Maya di Amerika pada 500 tahun SM:
Ada pula penulisan angka yang dipergunakan oleh bangsa Yunani Kuno. Menulis bilangan dengan menggunakan huruf abjad yang mereka pakai  .

Sekitar 3500 tahun S.M,Orang-orang Mesir kuno (Egypt) menggunakan Hieroglif untuk menuliskan bilangan-bilangan .

Dalam perkembangan selanjutnya, angka hindu –Arab kuno ditemukan dalam manuskrip Sepanyol abad X dan menjadi cikal bakal bagi angka-angka yang dipakai sekarang ini. Pada abad ke 11, bangsa arab menulis lambang bilangan (angka) dari angka 1 sampai dengan 9 seperti yang ada dan terus dipakai sampai saat ini oleh orang-orang Islam diseluruh dunia.

Simbol bilangan bangsa Romawi yang juga masih dipakai hingga kini.

 2.    Angka 0

Angka 0 memiliki arti penting dalam ilmu hitung, serta dalam memaknai dan menilai banyak hal dalam kehidupan sehari-hari. Angka 0 yang dalam bahasa Inggris disebut zero berasal dari bahasa Arab “sifr” yang bermakna “kosong”, sehingga angka 0 seringkali diartikan sebagai ketiadaan, kekosongan dan kehampaan dalam diri dan kehidupan manusia. Menjadi tanda kekalahan dalam sebuah pertarungan atau pertandingan, dan sering dianggap sebagai lambang ketidakmampuan seseorang dalam menjalankan peran kehidupan. Meskipun demikian, angka 0 memiliki arti penting dalam mencapai kesempurnaan nilai sesuatu, serta bisa menjadi simbol kemenangan bagi penyucian jiwa.

Apa pentingnya angka 0 dalam ilmu hitung? Secara historis, ditemukannya angka 0 pertama kali oleh Muhammad bin Ahmad merupakan sebuah hasil pemikiran mendalam untuk menjawab masalah penghitungan bilangan di masa itu. Menuliskan bilangan dalam jumlah besar, dengan menggunakan angka-angka yang demikian rumit seperti angka Romawi sangatlah sulit. Jumlah bilangan puluhan, ratusan hingga ribuan dalam angka Romawi masih bisa dituliskan dan dihafal bentuknya. Misalnya, X (10), XX (20), C (100), M (1.000). Namun, bila jumlah bilangan jutaan, milyaran, atau triliunan tentu sangat sulit menuliskannya dalam angka Romawi. Karena itu, penemuan angka 0 ini memiliki arti penting dalam penghitungan dan penulisan bilangan.

 Pemikiran Muhammad bin Ahmad tersebut kemudian dilanjutkan oleh Muhammad bin Musa Al Kwarizmy, seorang tokoh penemu perhitungan Al Jabar yang menjadi dasar ilmu pasti, yang dilahirkan di Khiva (Iraq) pada tahun 780 M. Dia juga berjasa dalam ilmu ukur sudut melalui fungsi sinus dan tangent, persamaan linear dan kuadrat serta kalkulus integral. Tabel ukur sudutnya (Tabel Sinus dan Tangent) menjadi rujukan tabel ukur sudut saat ini. Selain ahli matematika, ia juga ahli geografi, sejarah dan musik. Karya-karyanya di bidang matematika terdapat dalam Kitabul Jama wat Tafriq dan Hisab al-Jabar wal Muqabla. Hasil karya Al-Khwarizmi inilah yang kemudian menjadi rujukan dan mempengaruhi pemikiran para ilmuwan Eropa, seperti Jacob Florence, serta Leonardo Fibonacci yang kemudian lebih dikenal masyarakat dunia sebagai ahli matematika Al Jabar. Penemuan angka 0 ini sangat dirasakan manfaatnya oleh masyarakat dunia karena dengan angka 0 tersebut, kini kita dapat dengan mudah menuliskan jumlah bilangan dari yang terkecil hingga yang tertinggi dengan bantuan angka 0.

Filosofi Angka 0

Angka 0 memiliki arti filosofis dalam diri dan kehidupan kita. Pertama, ketika kita mengartikan angka 0 sebagai kelipatan, maka 0 berarti titik tolak untuk melipatgandakan kemampuan kita, serta hasil yang ingin kita capai dari proses upaya yang kita pilih dalam menyikapi dan melakukan sesuatu. Upaya atau cara yang salah bisa menghasilkan kesalahan atau melipatgandakan kerugian. Demikian pula sebaliknya, ketika upaya kita benar atau baik, maka hasilnya adalah kebaikan yang berlipat dan kita menemukan banyak kebenaran.

Kedua, dengan adanya angka 0, kita dapat mengenal nilai angka-angka lainnya. Angka 1 akan bernilai lebih besar jika diikuti angka 0 menjadi angka 10. Dalam skala 1-10, angka 10 merupakan nilai yang sempurna. Angka 0 membuat angka 1 lebih bernilai, dan angka 1 bisa membuat angka 0 ada nilainya, yaitu 0 satuan. Hal ini menunjukkan arti bahwa sesuatu memiliki manfaat, dan kebermanfaatan itu bisa dinilai ketika sesuatu tersebut mampu mengisi kekosongan dan menutupi kekurangan. Tanpa memahami kekurangan, kita tidak akan menggali dan mencari, serta memanfaatkan kelebihan kita untuk menutupi kekurangan tersebut. Tidak akan ada yang sempurna tanpa adanya yang tak sempurna. Nilai manfaat inilah yang menjadikan sesuatu bermakna dan penting dalam hidup kita hingga bisa menyirnakan kekosongan tersebut. Jika kita resapi dan kita hayati, fungsi dan nilai kehidupan kita terletak pada memberi manfaat. Kebermanfaatan atau kebergunaan kita dimulai untuk diri sendiri, keluarga, saudara, sahabat, masyarakat, bangsa dan negara serta agama kita. Sebagaimana hadits Rasulullah SAW yang diriwayatkan oleh Bukhari “Sebaik-baik manusia di antaramu adalah yang paling banyak manfaatnya bagi orang lain.”

Ketiga, angka 0 dalam sistem binary berarti tiada. Dalam filosofi agama, angka 0 bisa diartikan sebagai kembalinya diri terhadap penyucian jiwa dan ketulusan hati, sehingga 0 merupakan titik keikhlasan dan penyerahan, mengosongkan dan merendahkan diri di hadapan Tuhan. Keikhlasan ini menjadi dasar tumbuhnya upaya untuk menjaga hati dari penyakit hati, mengikhlaskan hati untuk memaafkan dan menerima kekurangan dan ketidaksempurnaan dalam diri dan hidup kita, bahkan memahami kekurangan orang lain.

Arti angka 0 dalam kehidupan sehari-hari

Dalam kehidupan sehari-hari, angka nol memiliki arti dan peran penting dalam hubungan sosial kita, hubungan vertikal dan spiritual kita dengan Allah SWT, serta berperan banyak dalam perhitungan dan penghitungan nilai materi dan keadaan yang kita hadapi. Kita mungkin sering mendengar istilah “kembali ke titik nol” yang dapat menggambarkan sebuah kondisi keterpurukan, musibah hingga bentuk kepasrahan dan penyerahan atas kehendak terbaik Yang Maha Berkehendak.

Hal ini memberikan makna bahwa titik nol tersebut merupakan awal atau bahkan hakikat hidup manusia yang sebenarnya, tidak memiliki apa-apa karena semua yang melekat pada dirinya hanyalah titipan semata-mata saat menjalankan peran kehidupannya. Dengan demikian, angka 0 memiliki arti dan berperan dalam meningkatkan kehidupan rohani kita.

Pada moment tertentu, kita juga mungkin pernah mendengar kalimat “dimulai dari titik nol ya” Kalimat seperti ini begitu akrab selama bulan Suci Ramadhan dan masa Idul Fitri khususnya sebagai sebuah standar operasional prosedur Pertamina Pasti Pas.

Berkaitan dengan hal ini, angka nol dapat kita artikan dan kita makani sebagai kembalinya hati kepada kesucian, memulai kembali hubungan yang terbuka, saling memaafkan dan berupaya untuk tidak saling menyakiti. Angka 0 memili esensi fitrah dan urgensi membuka maaf di hati, memperbaiki setiap kesalahan dengan sesuatu yang lebih berguna dalam mengelola hubungan interpersonal (sosial) dan intrapersonal kita. Tidak salah jika kita persepsikan Ramadlan dan Idul fitri sebagai momentum untuk menginsyafkan dan mengingatkan kita akan pentingnya mengembalikan kondisi hati dan jiwa kita kepada titik nol agar kita mampu memahami hidup dan hati kita secara utuh sebagai makhluk-Nya sepanjang waktu yang diberikan-Nya.

Dalam penghitungan sehari-hari, angka nol yang hadir berurutan merupakan sebuah kelipatan, bisa berlipat makin kecil atau makin besar. Misalnya, 0.1, 0.01, 0.001 dan seterusnya, semakin banyak angka 0 di depan angka yang diikutinya, maka semakin kecil nilainya. Sebaliknya, semakin banyak angka 0 mengikuti angka (1,2,3,4,5,6,7,8,9) di depannya baik tunggal maupun tidak, maka semakin tinggi nilainya. Misalnya, dalam sistem keuangan dan penilaian materi, angka 0 yang menempati 6 digit setelah angka 1 di depannya (1.000.000) tentu lebih besar nilainya daripada 1.000 atau 300.000. Hal ini menunjukkan arti bahwa angka 0 meskipun berarti kosong akan bernilai jika menyertai angka-angka lainnya dan membentuk sebuah kelipatan, baik kecil maupun besar.

Jadi, dengan adanya angka 0, kita akan memahami arti penting 1,2,3…, sehingga kita mampu menghargai, memahami, menyikapi kekurangan dan ketidaksempurnaan sebagai bagian dari proses kehidupan yang dalam kondisi tertentu memiliki kebergunaan dan kebermanfaatan dalam menjalani kehidupan kita.

3.         Nilai tempat.

Saat ini angka yang dipergunakan untuk menulis suatu bilangan adalah 0 sampai dengan 9. untuk menuliskan bilangan yang lebih dari 9, kita mengkombinasikan dua angka atau lebih yang diambil dari angka-angka 0,1,2,3,4,5,6,8 atau 9. Misalnya, bilangan sepuluh ditulis dengan lambang 10, yaitu mengkombinasikan 1 dan 0, demikian juga lambang seratus dua puluh tiga adalah 123, yaitu kombinasi dari 1, 2, 3. Pada tulisan 52, lambang 5 mempunyai nilai tempat yang berbeda dengan 2, karena angka 5 pada 52 bernilai 5 puluhan, sedangkan angka 2 bernilai 2 satuan. Kini orang cukup mudah untuk menyatakan suatu bilangan, mereka mengunakan konsep nilai tempat berdasarkan satuan, puluhan, ratusan, ribuan, dan seterusnya.

C.    Zaman Modern

Pada bagian sebelumnya kita telah mengenal bagaimana suatu suku bangsa  membuat sebuah sistem penulisan bilangan (sistem numerasi) yang berlaku untuk bangsanya, seperti yang dikembangkan oleh Bangsa Yunani Kuno, dan bangsa Mesir Kuno dan lain-lain. Namun demikian pada zaman modern sekarang ini sistem penulisan bilangan yang dikenal dan dipakai oleh hampir setiap bangsa yang ada di dunia ini adalah sistem penulisan bilangan yang dikembangkan oleh bangsa Arab, dan sekarang ini dikenal dengan ”Angka Arab” dengan angka-angka pokoknya adalah 0,1,2,3,4,5,6,7,8, dan 9, sedangkan angka-angka yang lebih dari 9, ditulis dengan angka-angka pokok tadi.

Misalnya, bilangan sepuluh ditulis sebagai ”10” yaitu kombinasi angka 1 dan 0, demikian juga bilangan ”dua puluh empat” ditulis dengan ”24” yaitu kombinasi angka 2 dan 4.

Dari sistem penulisan angka Arab tadi, kemudian orang-orang` mulai memberi nama-nama khusus terhadap bilangan-bilangan tertentu yang dikembangkan oleh bangsa Arab itu untuk suatu keperluan tertentu.

Macam – macam bilangan:

a      Bilangan Bulat adalah bilangan yang terdiri atas bilangan positif, bilangan nol, dan bilangan negatif.

         Misal : ….-2,-1,0,1,2….

b      Bilangan asli adalah bilangan bulat positif yang diawali dari angka 1(satu) sampai tak terhingga.

         Misal : 1,2,3….

c      Bilangan cacah adalah bilangan bulat positif yang diawali dari angka 0 (nol) sampai tak terhingga.

         Misal : 0,1,2,3,….

d     Bilangan prima adalah bilangan yang tepat mempunyai dua faktor yaitu bilangan 1 (satu) dan bilangan itu sendiri.

        Misal : 2,3,5,7,11,13,…..

       (1 bukan bilangan prima, karena mempunyai satu faktor saja).

e      Bilangan komposit adalah bilangan yang bukan 0, bukan 1 dan bukan bilangan prima.

        Misal ; 4,6,8,9,10,12,….

f       Bilangan rasional adalah bilangan yang dinyatakan sebagai suatu pembagian antara dua bilangan bulat (berbentuk bilangan , dimana a dan b merupakan bilangan bulat).

       Misal: -2, 3/8, 4, dsb

g      Bilangan irrasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai   pembagian dua bilangan bulat.

        Misal: π,  , log 7 dan sebagainya.

h      Bilangan riil adalah bilangan yang merupakan penggabungan dari  bilangan rasional dan bilangan irrasional

       Misal: -4, 2/7, p,  dan sebagainya.

i       Bilangan imajiner (bilangan khayal) adalah bilangan yang ditandai dengan i, bilangan imajiner i dinyatakan sebagai bilangan khayal atau √-1.  Jadi, jika i = √-1 maka i2= -1.

       Misal:  2i, 3i + 5, dsb.

j      Bilangan kompleks adalah bilangan yang merupakan penggabungan dari bilangan riil dan bilangan imajiner.

      Misal;  Log 3,  2i + 5, dsb.

Tokoh – tokoh Teori Bilangan

 

A.    Pythagoras (582-496 SM)

Pythagoras adalah seorang matematikawan dan filsuf Yunani yang paling dikenal melalui teoremanya. Dikenal sebagai “Bapak Bilangan”, dia memberikan sumbangan yang penting terhadap filsafat dan ajaran keagamaan pada akhir abad ke-6 SM.

Salah satu peninggalan Pythagoras yang terkenal adalah teorema Pythagoras, yang menyatakan bahwa kuadrat hipotenusa dari suatu segitiga siku-siku adalah sama dengan jumlah kuadrat dari kaki-kakinya (sisi-sisi siku-sikunya). Walaupun fakta di dalam teorema ini telah banyak diketahui sebelum lahirnya Pythagoras, namun teorema ini dikreditkan kepada Pythagoras karena ia yang pertama kali membuktikan pengamatan ini secara matematis.

  1. Jamshid Al-Kashi (1380 M)

Al-Kashi terlahir pada 1380 di Kashan,  sebuah padang pasir di sebelah utara wilayah Iran Tengah. Selama hidupnya, al-Kashi telah menyumbangkan dan mewariskan sederet penemuan penting bagi astronomi dan matematika.

Pecahan desimal yang digunakan oleh orang-orang Cina pada zaman kuno selama berabad-abad, sebenarnya merupakan pecahan desimal yang diciptakan oleh al-Kashi. Pecahan desimal ini merupakan salah satu karya besarnya yang memudahkan untuk menghitung aritmatika yang dia bahas dalam karyanya yang berjudul Kunci Aritmatika yang diterbitkan pada awal abad ke-15 di Samarkand.

  1. Abu Ali Hasan Ibnu Al-Haytam (965 M)

Abu Ali Hasan Ibnu Al-Haytam lahir Basrah Irak, yang oleh masyarakat Barat dikenal dengan nama Alhazen. Al-Haytam adalah orang pertama yang mengklasifikasikan semua bilangan sempurna yang genap, yaitu bilangan yang merupakan jumlah dari pembagi-pembagi sejatinya, seperti yang berbentuk       2k-1(2k-1) di mana 2k-1 adalah bilangan prima. Selanjutnya Al-Haytam membuktikan bahwa bila p adalah bilangan prima, 1+(p-1)! habis dibagi oleh p.

  1. Pierre de Fermat

Fermat menuliskan bahwa “I have discovered a truly remarkable proof which this margin is to small to contain”. Fermat juga hampir selalu menulis catatan kecil sejak tahun 1603, manakala ia pertama kali mempelajari Arithmetica karya Diophantus. Ada kemungkinan Fermat menyadari bahwa apa yang ia sebut sebagai remarkable proof ternyata salah, karena semua teorema yang dia nyatakan biasanya dalam bentuk tantangan yang Fermat ajukan terhadap matematikawan lain.

Meskipun kasus khusus untuk n = 3 dan n = 4 ia ajukan sebagai tantangan (dan Fermat mengetahui bukti untuk kasus ini) namun teorema umumnya tidak pernah ia sebut lagi. Pada kenyataannya karya matematika yang ditinggalkan oleh Fermat hanya satu buah pembuktian. Fermat membuktikan bahwa luas daerah segitiga siku- siku dengan sisi bilangan bulat tidak pernah merupakan bilangan kuadrat. Jelas hal ini mengatakan bahwa tidak ada segitiga siku-siku dengan sisi rasional yang mempunyai luas yang sama dengan suatu bujursangkar dengan sisi rasional. Dalam simbol, tidak terdapat bilangan bulat x, y, z dengan sehingga bilangan kuadrat. Dari sini mudah untuk mendeduksi kasus n = 4, Teorema Fermat. Penting untuk diamati bahwa dalam tahap ini yang tersisa dari pembuktian Fermat Last Theorem adalah membuktikan untuk kasus n bilangan prima ganjil. Jika terdapat bilangan bulat x, y, z dengan maka jika n = pq, .

Keunikan Angka 0 – 9

Selama ini kita hanya bisa menyebut dan menulis angka-angka 1 sampai 10 tapi dibalik itu tahukah anda apa yang sebenarnya tersembunyi?? coba dech kamu perhatikan sudut-sudut yang dibentuk oleh angka-angka tersebut, dimana jumlah sudut sama dengan angka yang selama ini kita tulis dan baca.

Keunikan Angka 1-9 di Indonesia

Pernahkah kita sesekali berpikir bahwa mengapa orang terdahulu memberi nama angka pada 1-9 dengan nama-nama yang unik?milsalnya 8 disebut “delapan”, bukan lapan, eight atau yang lainnya? pernahkah kita mencari tahu alasannya? Ternyata setelah diselidiki, penamaan pada angka tersebut tidaklah sembarangan. Ada korelasi pada setiap nama tersebut atau bias disebut saudaraan…. sedikit lucu sih memang kelihatannya… Mari kita lihat angka – angka dibawah ini:

1 = Satu

2 = Dua

3 = Tiga

4 = Empat

5 = Lima

6 = Enam

7 = Tujuh

8 = Delapan

9 = Sembilan

Apabila kita amati awalan dari huruf satu dan sembilan sama-sama S, yang apabila keduanya kita jumlahkan, maka hasilnya sepuluh. Dua dengan delapan sama-sama berawalan D, juga apabila dijumlahkan hasilnya sepuluh. Begitu juga dengan tiga dan tujuh yang huruf awalnya T apabila dijumlahkan memperoleh hasil sepuluh. Empat dan enam apabila dijumlahkan juga hasilnya sepuluh dengan awalan E. Lalu, bagaimana dengann lima? dia tak mempunyai pasangan… tapi jika dijumlahkan dengan dirinya sendiri hasilnya juga sepuluh. Taraaaaa………. keren kan???

Berarti gak sembarangan ya orang yang memberi nama pada angka di Indonesia

Aplikasi Bilangan dalam Beberapa Bidang

A.    Bidang Teknologi

1.      Sistem Bilangan Komputer

Sistem Bilangan atau Number System adalah suatu cara untuk mewakili besaran suatu item fisik. Sistem Bilangan menggunakan bilangan dasar atau basis (base/radix) yang tertentu.

Dalam hubungannya dengan komputer, ada 4 jenis Sistem Bilangan yang dikenal yaitu: Desimal (Basis 10), Biner (Basis 2), Oktal (Basis 8) dan Hexadesimal (Basis 16). Berikut penjelasan mengenai 4 sistem bilangan ini.

a.       Desimal (Basis 10)

         Desimal (Basis 10) adalah sistem bilangan yang paling umum digunakan dalam kehidupan sehari-hari. Sistem bilangan desimal menggunakan basis 10 dan menggunakan 10 macam simbol bilangan yaitu: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 dan 9. Sistem bilangan dasimal dapat berupa integer desimal (decimal integer) dan dapat juga berupa pecahan desimal (decimal fraction). Untuk melihat bilangan desimal dapat digunakan perhitungan seperti berikut, misalkan contoh bilangan desimal adalah 8598. Ini dapat diartikan

         Dalam gambar di atas disebutkan Absolut Value dan Position Value. Setiap simbol dalam sistem bilangan desimal memiliki bentuk Absolut Value dan Position Value. Absolut Value adalah nilai mutlak dari masing-masing digit bilangan. Sedangkan Position Value adalah nilai penimbang atau bobot dari masing-masing digit bilangan tergantung dari letak posisinya yaitu bernilai basis di pangkatkan dengan urutan posisinya.

b.      Biner (Basis 2)

Biner (Basis 2) adalah sistem bilangan yang terdiri dari 2 simbol yaitu 2 dan 1. Bilangan biner ini dipopulerkan oleh John Von Neuman. Contoh bilangan biner ini adalah 1001, ini dapat diartikan (di konversi ke sistem bilangan desimal) menjadi sebagai berikut:

Position Value dalam sistem bilangan biner merupakan perpangkatan dari nilai 2 (basis). Berarti, bilangan biner 1001 .

c.       Oktal (Basis 8)

Oktal (Basis 8)  adalah sistem bilangan yang terdiri dari 8 simbol yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 dan 7. Contoh oktal adalah 1024, ini dapat diartikan (dikonversikan ke sistem bilangan desimal).

Position Value dalam sistem bilangan oktal merupakan perpangkatan dari nilai 8 (basis). Berarti bilangan oktal 1022 perhitungannya adalah sebagai berikut:

d.      Hexadesimal (Basis 16)

        Hexadesimal (Basis 16), Hexa berarti 6 dan desimal berarti 10 adalah sistem bilangan yang terdiri dari 16 simbol yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A(10), B(11), C(12), D(13), E(14), F(15). Pada sistem bilangan hexsadesimal memadukan 2 unsur yaitu angka dan huruf. Huruf A mewakili angka 10, B mewakili angka 11 dan seterusnya sampai huruf F mewakili angka 15.

        Contoh hexadesimal F3D4, ini dapat diartikan (dikonversikan ke sistem bilangan desimal).

        Position Value dalam sistem bilangan hexsadesimal merupakan perpangkatan dari nilai 16 (basis).

B.     Bidang Sains

         Negatif dari logaritma berbasis 10 digunakan dalam kimia untuk mengekspresikan konsentrasi ion hidronium (pH). Contohnya, konsentrasi ion hidronium pada air adalah 10−7 pada suhu 25 °C, sehingga pH-nya 7.

         Satuan bel (dengan simbol B) adalah satuan pengukur perbandingan (rasio), seperti perbandingan nilai daya dan tegangan. Kebanyakan digunakan dalam bidang telekomunikasi, elektronik, dan akustik. Salah satu sebab digunakannya logaritma adalah karena telinga manusia mempersepsikan suara yang terdengar secara logaritmik. Satuan Bel dinamakan untuk mengenang jasa Alexander Graham Bell, seorang penemu di bidang telekomunikasi. Satuan desibel (dB), yang sama dengan 0.1 bel, lebih sering digunakan.

         Skala Richter mengukur intensitas gempa bumi dengan menggunakan skala logaritma berbasis 10.

         Dalam astronomi, magnitudo yang mengukur terangnya bintang menggunakan skala logaritmik, karena mata manusia mempersepsikan terang secara logaritmik.

C.    Bidang Ekonomi

Menganalisis dan mengevaluasi strategi penyelesaian masalah serta menemukan strategi penyelesaian masalah yang baru. Matematika dapat digunakan untuk menyeleksi atau menyaring data yang ada. Seperti tes seleksi calon PNS, Polisi, TNI, pelajar, mahasaiswa atau karyawan menggunakan tes tulis dengan materi matematika (biasanya logika danberhitung) untuk mengetahui kemampuan berpikir cepat dan dapat menyelesaikan masalah. Dalam bidang teknik matematika digunakan seperti teknik informatikaatau komputer menggunakan konsep bilangan basis, teknik industri atau mesin matematika digunakan untuk menentukan ketelitian suatu alat ukur atau peralatan yang digunakan. Bidang ekonomi menggunakan konsep fungsi untuk memprediksikan produksi maupun penjualan.

D.    Bidang Musik

Teori Musik sering menggunakan matematika untuk memahami musik. Memang, matematika adalah “dasar suara” dan suara itu sendiri “dalam aspek musik nya … menunjukkan array yang luar biasa dari sifat nomor”, hanya karena alam itu sendiri “adalah matematika luar biasa”.

Meskipun kuno, Cina Mesir dan Mesopotamians diketahui telah mempelajari prinsip-prinsip matematika suara, dengan ilmu Pythagoras dari Yunani kuno adalah peneliti pertama yang diketahui telah menyelidiki ekspresi skala musik dalam hal rasio numerik, khususnya rasio bilangan bulat kecil. doktrin utama mereka adalah bahwa “seluruh alam terdiri dari harmoni timbul dari nomor”.

Dari waktu Plato, harmoni dianggap sebagai cabang dasar fisika, sekarang dikenal sebagai musik akustik. Awal teori India dan Cina menunjukkan pendekatan serupa. Semua berusaha untuk menunjukkan bahwa hukum-hukum matematika dari harmonisa dan ritme yang fundamental tidak hanya untuk pemahaman kita tentang dunia tetapi untuk kesejahteraan manusia Konfusius, seperti Pythagoras, menganggap nomor kecil 1,2,3,4 sebagai sumber semua kesempurnaan.

Untuk hari ini matematika lebih berkaitan dengan akustik dibandingkan dengan komposisi, dan penggunaan matematika dalam komposisi secara historis terbatas pada operasi sederhana penghitungan dan pengukuran. Upaya untuk struktur dan mengkomunikasikan cara-cara baru penyusunan dan mendengar musik telah menyebabkan aplikasi musik teori himpunan, aljabar abstrak dan teori bilangan. Beberapa komposer telah memasukkan rasio Emas dan angka Fibonacci ke dalam pekerjaan mereka

Bentuk music

Formulir Musik adalah rencana dimana sepotong pendek musik diperpanjang. The “Rencana” istilah juga digunakan dalam arsitektur, yang membentuk musik sering dibandingkan. Seperti arsitek, komposer harus memperhitungkan fungsi yang pekerjaan dimaksudkan dan sarana yang tersedia, berlatih ekonomi dan memanfaatkan pengulangan dan ketertiban. Jenis umum dikenal sebagai bentuk biner dan terner (“dua kali lipat” dan “tiga”) sekali lagi menunjukkan pentingnya nilai-nilai integral kecil terhadap kejelasan dan daya tarik musik.

E.     Bidang Filosofi

Filsafat membahas bilangan sebagai objek studi material artinya filsafat menjadikan bilangan sebagai objek sasaran untuk menyelidiki ilmu tentang bilangan itu sendiri. Objek material filsafat ilmu bilangan adalah bilangan itu sendiri. Bilangan itu sendiri dimulai dari yang paling sederhana, yakni bilangan asli, bilangan cacah, kemudian bilangan bulat, dan seterusnya hingga bilangan kompleks. Sebagai objek formal filsafat, bilangan dikaji hakikat. Pengkajian filsafat tentang bilangan misalnya mengenai apa hakikat dari bilangan itu, bagaimana merealisasikan konsep bilangan yang abstrak menjadi riil atau nyata, bagaimana penggunaan bilangan untuk penghitungan dan atau pengukuran.

F.     Bidang Hiburan ( Permainan )

a.       Ambil tanggal lahir kamu lalu kali 4, hasilnya tambah 13, hasilnya kali 25 lalu kurangi dengan 200, hasilnya  tambah dengan bulan lahir kamu lalu hasilnya kali 2 terus kurangi dengan 40, hasilnya kali dengan 50 hasilnya lagi tambah dengan 2 digit terakhir tahun lahir kamu lalu hasilnya kurangi dengan 10500..berapa hasilnya?

b.      Ambil dua digit terakhir tahun lahir kamu dan tambahkan dengan umurmu di tahun 2011..berapa hasilnya?selalu 111 kan?

c.       Dalam astronomi dan fisika, kita mengenal adanya suatu fenomena alam yang sangat menarik yaitu lubang hitam (black hole). Lubang hitam adalah suatu entitas yang memiliki medan gravitasi yang sangat kuat sehingga setiap benda yang telah jatuh di wilayah horizon peristiwa (daerah di sekitar inti lubang hitam), tidak akan bisa kabur lagi. Bahkan radiasi elektromagnetik seperti cahaya pun tidak dapat melarikan diri, akibatnya lubang hitam menjadi “tidak kelihatan”. Ternyata, dalam matematika juga ada fenomena unik yang mirip dengan fenomena lubang hitam yaitu bilangan lubang hitam. Bagaimana sebenarnya bilangan lubang hitam itu? Mari kita bermain-main sebentar dengan angka. Coba pilih sesuka hati Anda sebuah bilangan asli (bilangan mulai dari 1 sampai tak hingga). Sebagai contoh, katakanlah 141.985. Kemudian hitunglah jumlah digit genap, digit ganjil, dan total digit bilangan tersebut. Dalam kasus ini, kita dapatkan 2 (dua buah digit genap), 4 (empat buah digit ganjil), dan 6 (enam adalah jumlah total digit). Lalu gunakan digit-digit ini (2, 4, dan 6) untuk membentuk bilangan berikutnya, yaitu 246.

          Ulangi hitung jumlah digit genap, digit ganjil, dan total digit pada bilangan 246 ini. Kita dapatkan 3 (digit genap), 0 (digit ganjil), dan 3 (jumlah total digit), sehingga kita peroleh 303. Ulangi lagi hitung jumlah digit genap, ganjil, dan total digit pada bilangan 303. (Catatan: 0 adalah bilangan genap). Kita dapatkan 1, 2, 3 yang dapat dituliskan 123. Jika kita mengulangi langkah di atas terhadap bilangan 123, kita akan dapatkan 123 lagi. Dengan demikian, bilangan 123 melalui proses ini adalah lubang hitam bagi seluruh bilangan lainnya. Semua bilangan di alam semesta akan ditarik menjadi bilangan 123 melalui proses ini, tak satu pun yang akan lolos. Tapi benarkah semua bilangan akan menjadi 123? Sekarang mari kita coba suatu bilangan yang bernilai sangat besar, sebagai contoh katakanlah 122333444455555666666777777788888888999999999. Jumlah digit genap, ganjil, dan total adalah 20, 25, dan 45. Jadi, bilangan berikutnya adalah 202.545. Lakukan lagi iterasi (pengulangan), kita peroleh 4, 2, dan 6; jadi sekarang kita peroleh 426. Iterasi sekali lagi terhadap 426 akan menghasilkan 303 dan iterasi terakhir dari 303 akan diperoleh 123. Sampai pada titik ini, iterasi berapa kali pun terhadap 123 akan tetap diperoleh 123 lagi. Dengan demikian, 123 adalah titik absolut sang lubang hitam dalam dunia bilangan. Namun, apakah mungkin saja ada suatu bilangan, terselip di antara rimba raya alam semesta bilangan yang jumlahnya tak terhingga ini, yang dapat lolos dari jeratan maut sang bilangan lubang hitam, sang 123 yang misterius ini?

LATIHAN

  1. Jelaskan sejarah teori bilangan secara singkat?
  2. Siapa sajakah tokoh-tokoh teori bilangan?
  3. Kapankah angka nol ditemukan?
  4. Jelaskan filosofi nol dalam kehidupan sehari-hari?
  5. Sebutkan macam-macam bilangan disertai dengan contohnya masing-masing?
  6. Jelaskan aplikasi bilangan dalam system bilangan computer?
  7. Jelaskan keunikan angka 0-9  di Indonesia?
  8. Jelaskan perbedaan decimal dengan biner?
  9. Apakah yang dimaksud dengan fenomena bilangan hitam?
  10. Berikan dua contoh bilangan hexadecimal?
 

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s